Парадоксы выборов

[Isaac New 3,552]

Предисловие: не знал, куда поместить тему. Вроде бы здесь основной упор делается не на социологическую составляющую, а на несложные математические идеи - поэтому выбрал "образование"

Школьная задачка, простая по своей формулировке и пониманию: в некой стране есть диктатор, который очень хочет выглядеть честным президентом. Для этого он организует выборы. Известно, что его армии настолько хорошо живётся, что все военные будут голосовать за этого диктатора, а остальные - видимо настолько поражены деятельностью диктатора, либо настолько предубеждены против него - что кроме как на армию надеяться не приходится. Ах, да. О чём это я? Забыл сказать, что диктатор может установить такую систему выборов, какую хочет. Армии у диктатора... ну допустим четыре процента. Требуется найти способ остаться у власти.  

Это же невозможно - скажете вы. То есть возможно, но для этого нужно дать право голоса только военным. И тут я действительно "вспомню" ещё одно условие. Международное сообщество хочет, чтобы диктатор организовал подобие прямой системы выборов, при которой победитель определяется большинством голосов, при этом намекают на возможность многоуровневой системы, при которой избиратели выбирают выборщиков, которые выбирают главу государства. Естественно, что америке нужен только повод для экспорта демократии - поэтому внешне это не должно выглядеть, как "доминирование армии" -  выборы каждого выборщика должны происходить примерно от одного и того же числа людей

И что делать бедному диктатору? Искать другую страну? Ну уж нет. Ему надо только посчитать. Для этого попробуем понять, какого минимального числа военных достаточно для победы

Предположим, что армия внезапно выросла в десять раз с четырёх процентов до сорока. Теперь, как это ни странно, диктатор уже может выиграть не обладая познаниями в высшей математике. Он просто делит страну на три региона и говорит, что выборы проходят в два этапа: сначала в каждом регионе выбирают одного выборщика, а потом - эти три выборщика выбирают президента. К моменту выборов армия практически полностью переезжает в какие-то два региона и, как было сказано в условии, голосует за диктатора. В этих регионах, в каждом из которых проживает примерно треть населения, армии достаточно набрать половину голосов. То есть всего достаточно где-то половины от двух третей - то есть 1/3 голосов. Вооружившись калькулятором убеждаемся, что 1/3 населения - это 33,3% голосов, что заметно меньше тех сорока процентов, которыми этот диктатор обладает.

Теперь усложним задачу. К концу первого срока международное сообщество потребовало от диктатора сокращения армии до цифры 31 процент населения. Что делать бедному диктатору? Первые выборы показали, что только единицы, уходя из армии продолжают поддерживать вождя. Теперь деление страны на три региона не очень помогает. Но и теперь можно победить. Для этого надо поделить страну не на три, а на пять регионов. Теперь, для победы необходимо получить голоса трёх выборщиков из пяти. А для этого необходимо получить больше половины уже в округах, где проживает, вернее - будет проживать после переезда армии 3/5 населения страны. То есть всего 3/10 от всех голосов населения. А 3/10 - это 30 процентов. Идея помогла и диктатор остался у власти.

На третий срок международное сообщество потребовало сокращение войск до 26 процентов. "Издеваются" - подумал диктатор, но продолжил сидеть с ручкой над листом бумаги и картой страны. Если поделить страну на 2n+1 регионов - нам будет достаточно одержать локальную победу в n+1 регионе. Если считать, что после переезда воинских частей население будет расселено по стране примерно равномерно - то необходимо будет получить х=1/2*(n+1)/(2n+1) голосов от всех граждан. Несложно понять, что при больших n число будет стремиться к цифре 1/4, причём вторая часть дроби - (n+1)/(2n+1) будет отстоять от одной второй на очень маленькое расстояние E - уже тогда, когда

n &gt 1/(2E)

. То есть если мы хотим приблизиться к числу 25% всего на E=1/100 (25,01%) - нам нужно будет сделать больше пятидесяти регионов. (то есть здесь можно будет обойтись даже существующим делением на регионы в РФ). Таким образом, поделив на много регионов - можно будет добиться победы, имея в своих руках даже 25,5 процентов голосов. (этого хватит с большим запасом. Причём чем больше число регионов - тем больше будет этот запас). Таким образом мы выиграли и третьи выборы.

Но не всё вечно - и знакомое нам международное сообщество тоже не стоит на месте. Теперь они угрожают войной, если мы не ограничим армию пятнадцатью процентами населения. Пятнадцать - это заметно меньше, чем 25. И теперь такой фокус не пройдёт. Что же делать? Мы уже почти принесли народу нашей страны мир. Неужели наши реформы так и останутся незакончеными? Оказывается, что есть шанс закончить реформы. Заметим, что до сих пор выборы проходили в две ступени. То есть для того, чтобы выбрать выборщика - нам нужно было получить 50% голосов в регионе. Но почему бы не выбирать выборщиков по той системе, которая описана выше, разбивая регионы страны на районы. Теперь мы можем победить, если доведём в "интересующих" нас регионах процент военных не до 50, а до, скажем, 25,5 (ведь это больше, чем 25, а мы умеем обходиться любым числом большим 25) Что изменится в нашей большой формуле. ( 1/2*(n+1)/(2n+1) ) Собственно говоря, изменится как раз число 1/2. Изменится оно на эту формулу, повторённую ещё раз. То есть в формулу для х нужно будет подставить х вместо 1/2. В итоге новая формула будет выглядеть так. у=1/2*(n+1)/(2n+1)*(n+1)/(2n+1). Несложно понять, что здесь при росте n, игрек будет приближаться к 1/8. То есть для победы нам хватит чуть больше, чем 12,5 процентов населения. То есть то ограничение армии в 15 процентов, которое поставило мировое сообщество не может сдвинуть нас с вершины власти.

И теперь можно заметить, что делая количество ступеней у выборов большим - мы будем получать, что число военных должно быть z=1/2*( (n+1)/(2n+1)^m-1 ), где m - это количество туров, за которое избирается глава государства. А вот эта последовательность, при росте m - уже позволяет выиграть не то, что с четырьмя процентами голосов избирателей (четырёх процентов достаточно уже при пяти турах), а с любым наперёд заданым маленьким числом. Сторонников.

Но здесь главный парадокс математики. Почему бы тогда не выиграть с одним-двумя сторонниками? Здесь уже начинает работать краевой эффект, который не влиял на наши рассуждения при большом количестве избирателей, но начинает сильно влиять при малом. До сих пор мы считали, что для победы в первом туре нужно пятьдесят процентов голосов. Но на самом деле нужно больше пятидесяти. Скажем, если избирательный участок первого уровня - это три человека - то нужно 2 голоса, то есть 66%. Как это отразится на формуле для z? Не так, чтобы всё объяснить. z лишь станет не 1/2*..., а 2/3*..., а в большинстве случаев - ещё меньшей величиной, что не отменит стремления z к нулю при росте m. Где же тогда ошибка в формуле? Ошибка в том, что при достаточно больших m и n - в какой-то из моментов население придётся делить на округа, где процент проживающих меньше, чем часть, которую составляет один человек от населения страны. То есть, грубо говоря, нужно будет, чтобы одного выборщика выбрали восемь десятых человека. И чем меньше число сторонников - тем больше надо будет извращаться диктатору. Тем меньше будет население "стартовых" избирательных участков. Если вариант с 15% ещё наверное можно реализовать, скажем, в Китае - то вариант с 4% скорее всего сложно реализовать даже в масштабах всемирных выборов. Но факт остаётся фактом. Если наседение страны очень велико - то процент, необходимый для подобной победы - чрезвычайно мал. Вот ещё один пример, подтверждающий абсурдность демократии и выборов.

Изменено 17.10.2010, 18:16:58 пользователем Айон

[Jwerwolf 4,546]

Примерно на этом и основан джерримендеринг. Однако это возможно лишь при косвенных выборах и при неконтролируемом делении на избирательные округа.

[Isaac New 3,552]

Не важно, как проголосуют. Важно - как посчитают. Об этом - ещё одна школьная задачка. Сколько способов определения победителя в выборах вы знаете? Рискну предположить, что многие форумиты назовут достаточно способов определения победителя, только ленивый не назовёт пропорциональную избирательную систему, которая используется у нас на парламентских выборах, систему относительного обльшинства, которая используется на выборах вице-президента... Особо одарённые также вспомнят и систему абсолютного большинства, где может потребоваться второй тур, но обо всём поподробнее.

Пусть диктатор из первого поста захотел провести ещё одно подобие выборов. На сей раз есть 17 выборщиков и четыре кандидата на роль, скажем, министра образования. Но тут оказывается, что три из них - состоят в оппозиции. Если кандидат снимается перед выборами - то международное сообщество будет реагировать очень плохо, но... как всегда у диктатора есть возможность устанавливать правила игры. Почему? Да потому, что их никто ещё не установил. Перед самими выборами забыли определиться с процедурой определения победителя. И это тот момент, когда председатель ЦИКа может помочь диктатору в установлении мира в определённой стране.

Голоса на выборах распределились неоднозначно - докладывает председатель ЦИКа. Четыре кандидата, для простоты - №1, №2, №3 и №4. Каждого выборщика просили расставить их по убыванию поддержки. То есть самый близкий - стоит в начале, самый далёкий - в конце. Выборщики проголосовали так:

Группа 1 (5 человек): №1, №4, №3, №2

Группа 2 (2 человека): №2, №3, №4, №1

Группа 3 (2 человека): №2, №4, №3, №1

Группа 4 (3 человека): №3, №4, №2, №1

Группа 5 (3 человека): №1, №3, №2, №4

Группа 6 (2 человека): №4, №3, №2, №1

Получается, что большинством голосов победил №1? - вопрошает диктатор - восемь человек поставили его на парвое место... мне бы такую поддержку, а то каждый раз приходится страну на регионы дробить к выборам.

Нет, не победил - отвечает председатель - кто сказал, что мы будем выбирать победителя простым большинством?

А как тогда? недоумённо вопрошает диктатор

В первом туре большинства голосов не набрал никто - объясняет председатель. Восемь - это меньше половины от семнадцати. Поэтому устраивается второй тур. Проходят кандидаты №1 и 2 (8 и 4 голоса соответственно) Выборщики своих позиций не меняют. А это значит, что голоса четвёртой и шестой группы переходят к кандидату №2, так как в их списках этот кандидат стоит раньше кандидата №1. Итог - кандидат №1 всё ещё имеет восемь голосов, а кандидат №2 - уже девять. И он побеждает.

Здорово - говорит диктатор - но кандидат №2 - это тоже кандидат от оппозиции. И если выбирать из двух зол - то я выберу кандидата №1.

Незачем выбирать из зол - перебивает председатель диктатора - вы не дослушали. Собственно говоря, зачем я просил всех написать списки, а не отметить понравившегося кандидата. Есть такая система выборов, где кандидаты получают столько баллов, под каким номером их написали. Если под первым - один балл, под вторым - два. И так далее... Победил, естественно, тот, кто набрал меньше баллов, так как первым быть выгодно.

И что? - с надеждой вопрошает диктатор

№1 - начинает отчитываться председатель - 8 первых мест, 9 четвёртых. Итого - 44 балла. №2 - 5 первых, 8 третьих, 5 четвёртых мест. Итог - 49 баллов. №3: 3 первых, 7 вторых и 5 третьих. Итог - 32 балла, №4 - 2 первых, 10 вторых, 2 третьих и 2 четвёртых. Итог - 36 баллов. Победил кандидат №3.

Тоже не годится - отвечает диктатор - мой кандидат - это кандидат №4. Если народ выберет третьего - это, конечно, лучше, чем кого-то из первых двух - но всё равно опасно.

Народ? - переспросил председатель - не забывайте, что кандидат на должность министра образования должен быть лучше, чем каждый кандидат на это место. То есть в большинстве списков стоять раньше любого из претендентов. Посмотрите на вашего кандидата. Он стоит раньше кандидата №1 в списках групп 2, 3, 4 и 6. А это - 9 человек, больше половины. Он стоит в списках раньше кандидата №2 у 1, 4 и 6 групп. А это, как вы можете посчитать снова больше половины от выборщиков. А уж про кандидата №3 - я вообще молчу. Группы 1, 3 и 6. Снова 9 человек. Так что можете смело говорить, что вашему кандидату доверяют больше, чем любому другому - и смело объявлять его министром образования.

Спасибо - говорит диктатор председателю - что бы я без тебя делал...

Изменено 18.10.2010, 21:37:40 пользователем Айон

[Isaac New 3,552]

Я всё-таки нашёл в глубинах интернета ту статью, с которой брал идеи для этой темы - поэтому, собственно, вот.

Статья:

1Нажмите здесь!

 [Cкрыть]

2Нажмите здесь!

 [Cкрыть]

3Нажмите здесь!

 [Cкрыть]

4Нажмите здесь!

 [Cкрыть]

5Нажмите здесь!

 [Cкрыть]

6Нажмите здесь!

 [Cкрыть]

7Нажмите здесь!

 [Cкрыть]

8Нажмите здесь!

 [Cкрыть]

9Нажмите здесь!

 [Cкрыть]

10Нажмите здесь!

 [Cкрыть]

В статье автор доказывает очень много интересных вещей, в частности - невозможность построения "правильной" демократической системы выборов.

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы увидеть скрытое содержимое.

Изменено 19.10.2010, 21:57:58 пользователем Айон

[Isaac New 3,552]

А теперь поговорим о роли человека на выборах. Казалось бы... всего один голос. Что он может значить? Как оказалось - много. Продолжим сюжет с диктатором. Теперь полиция государства, где правит диктатор арестовала человека, который был лидером оппозиции к этому самому диктатору. Его обвиняют в подстрекательстве, оскорблении власти и клевете. Для слушаний по делу диктатор назначил судей... но не тут-то было. Почему-то обвиняемый потребовал себе суд присяжных. В этот суд вошли девять человек. Четверо из них - оппозиционеры. Они считают, что обвиняемого необходимо отпустить и все обвинения снять. Четверо - военные. Они, как вы помните, сторонники диктатора. Поэтому голосуют за расстрел. И один - не определился. Он считает, что обвиняемый виновен, но это не повод, чтобы его расстреливать. Казалось бы, у диктатора мало шансов выиграть дело, но тут вмешался случай. А именно - судья. Он, как водится, на стороне обвинения. поэтому изначально по делу затребовал такое странное условие.

проголосуйте по следующему вопросу: если обвиняемый виновен - его расстреливают. Если не виновен - то его отпускают и преследование больше не ведётся

Естественно, все голосуют за это предложение. Кроме, конечно, одного неопределившегося. Почему? Военным это выгодно. это как раз то, что они хотят. но это выгодно и оппозиции. Они тоже этого хотят.

А теперь - виновен ли обвиняемый?

Естественно, пять человек голосуют за "виновен", и оппозиционер идёт под расстрел.

Но более интересен другой порядок вопросов.

Первый: если расстрел - однозначно виновен, если не расстрел - не виновен

Второй: расстрел или не расстрел

Как легко убедиться - во втором варианте кандидата не только отпускают, но и снимают все обвинения. О чём это говорит? В более общем случае (с некоторыми исключениями) верна теорема: если есть несколько вопросов и есть большинство, которое одинакого мыслит по всем из них - то смысл держать весь парламент/суд/коллегию...? Оставить одного человека оттуда, он разберётся. Если такого обльшинства нет - то смысл держать такой парламент/суд/коллегию...? Если спикер будет правильно выносить вопросы на голосование - всё равно победит тот вариант, который требует этот спикер. То есть, почти всегда смысо в голосовании пропадает, а все органы власти можно заменить одним человеком

[Толстый 4,303]

Если спикер будет правильно выносить вопросы на голосование - всё равно победит тот вариант, который требует этот спикер.

Ну, спикер может встретится с сопротивлением Еще бывает такой вариант, когда меньшинство может заблокировать работу большинства, так называемая обструкция.

[nelsonV 4,134]

если расстрел - однозначно виновен, если не расстрел - не виновен

это как?

[Дон Андрон 14,790]

i	Тема "Парадоксы выборов" перенесена из раздела "Образование" в раздел "Архив".